Εμφάνιση εγγραφής /
Κατηγορία: Λήματα
Ονομασία εγγραφής: Convolution
Έννοια: Συνέλιξη
Εκτενέστερη περιγραφή
Η συνέλιξη (convolution) είναι μια μαθηματική διαδικασία, ένα ολοκλήρωμα, η οποία μας επιτρέπει να συνδέουμε την κρουστική απόκριση ενός συστήματος LTI (γραμμικού, χρονικά αμετάβλητου) συνεχούς χρόνου με την απόκρισή του γιά οποιαδήποτε διέγερση. Ας αρχίσουμε θεωρώντας ότι μια διέγερση f(t) σε ένα γραμμικό, σύστημα συνεχούς χρόνου, προκαλεί την απόκριση g(t). Η διέγερση μπορεί να προσεγγιστεί με ένα άθροισμα παλμών pΔ(t) διάρκειας Δτ και πλάτους 1/Δτ.Κάθε παλμός pΔ(t-nΔτ) για να αποκτήσει πλάτος ίσο με την τιμή f(nΔτ) του σήματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί f(nΔτ)Δτ, αφού το αρχικό του πλάτος είναι 1/Δτ. Με τον τρόπο αυτό, η διέγερση προσεγγίζεται με το άθροισμα των παλμών f(t) = f(0)pΔ(t)Δτ+f(Δτ)pΔ(t-Δτ)Δτ+f(2Δτ)pΔ(t-2Δτ)Δτ+f(3Δτ)pΔ(t-3Δτ)Δτ+.....και μπορούμε να γράψουμε ότι: Αν ο παλμός pΔ(t) προκαλεί απόκριση hΔ(t), επειδή το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο, ο κάθε παλμός pΔ(t-nΔτ) προκαλεί απόκριση hΔ(t-nΔτ). Επειδή το σύστημα είναι γραμμικό, η απόκρισή του σε διέγερση f(nΔτ)pΔ(t-nΔτ)Δτ θα είναι φυσικά f(nΔτ)hΔ(t-nΔτ)Δταφού η ποσότητα f(nΔτ)Δτ, το πλάτος του κάθε συγκεκριμένου παλμού, είναι γιά κάθε n σταθερή. Η συνολική προσεγγισμένη απόκριση, επειδή το κύκλωμα είναι γραμμικό, θα είναι το άθροισμα των αποκρίσεων που προκαλεί ο κάθε παλμός, δηλ. Στη συνέχεια θα φανταστούμε το Δτ να τείνει στο dτ, το οποίο τείνει στο μηδέν. Στην περίπτωση αυτή οι όροι f(nΔτ) γίνονται f(τ), οι παλμοί pΔ(t-nΔτ) γίνονται καθυστερημένες κρουστικές δ(t-τ) και οι αποκρίσεις τους γίνονται οι αντίστοιχες κρουστικές αποκρίσεις h(t-τ). Οταν επομένως το Δτ να τείνει στο dτ, έχουμε:Η παραπάνω εξίσωση, που ορίζει το συνελικτικό ολοκλήρωμα, είναι υψίστης σημασίας για την θεωρία των συστημάτων και κυκλωμάτων LTI συνεχούς χρόνου. Στην ουσία, εκφράζει την απόκριση ενός συστήματος με διέγερση f(t), συναρτήσει της κρουστικής απόκρισης h(t) του συστήματος. Γνωρίζοντας δηλαδή την κρουστική απόκριση h(t) του κυκλώματος, η απόκρισή του σε τυχούσα διέγερση f(t) υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση. Η σύνδεση της απόκρισης με την διέγερση μέσω της κρουστικής απόκρισης αποτελεί την καταξίωση της σημασίας της κρουστικής απόκρισης. Γενικά η συνέλιξη g(t) μιας συνάρτησης f(t) με μια άλλη h(t) συμβολίζεται και ορίζεται ως ,
Προσθήκη εγγραφής | Λίστα εγγραφών | Αναζήτηση
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
j |
k |
l |
m |
n |
o |
p |
q |
r |
s |
t |
u |
v |
w |
x |
y |
z
Κατηγορία: Λήματα
Ονομασία εγγραφής: Convolution
Έννοια: Συνέλιξη
Εκτενέστερη περιγραφή
Η συνέλιξη (convolution) είναι μια μαθηματική διαδικασία, ένα ολοκλήρωμα, η οποία μας επιτρέπει να συνδέουμε την κρουστική απόκριση ενός συστήματος LTI (γραμμικού, χρονικά αμετάβλητου) συνεχούς χρόνου με την απόκρισή του γιά οποιαδήποτε διέγερση. Ας αρχίσουμε θεωρώντας ότι μια διέγερση f(t) σε ένα γραμμικό, σύστημα συνεχούς χρόνου, προκαλεί την απόκριση g(t). Η διέγερση μπορεί να προσεγγιστεί με ένα άθροισμα παλμών pΔ(t) διάρκειας Δτ και πλάτους 1/Δτ.Κάθε παλμός pΔ(t-nΔτ) για να αποκτήσει πλάτος ίσο με την τιμή f(nΔτ) του σήματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί f(nΔτ)Δτ, αφού το αρχικό του πλάτος είναι 1/Δτ. Με τον τρόπο αυτό, η διέγερση προσεγγίζεται με το άθροισμα των παλμών f(t) = f(0)pΔ(t)Δτ+f(Δτ)pΔ(t-Δτ)Δτ+f(2Δτ)pΔ(t-2Δτ)Δτ+f(3Δτ)pΔ(t-3Δτ)Δτ+.....και μπορούμε να γράψουμε ότι: Αν ο παλμός pΔ(t) προκαλεί απόκριση hΔ(t), επειδή το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο, ο κάθε παλμός pΔ(t-nΔτ) προκαλεί απόκριση hΔ(t-nΔτ). Επειδή το σύστημα είναι γραμμικό, η απόκρισή του σε διέγερση f(nΔτ)pΔ(t-nΔτ)Δτ θα είναι φυσικά f(nΔτ)hΔ(t-nΔτ)Δταφού η ποσότητα f(nΔτ)Δτ, το πλάτος του κάθε συγκεκριμένου παλμού, είναι γιά κάθε n σταθερή. Η συνολική προσεγγισμένη απόκριση, επειδή το κύκλωμα είναι γραμμικό, θα είναι το άθροισμα των αποκρίσεων που προκαλεί ο κάθε παλμός, δηλ. Στη συνέχεια θα φανταστούμε το Δτ να τείνει στο dτ, το οποίο τείνει στο μηδέν. Στην περίπτωση αυτή οι όροι f(nΔτ) γίνονται f(τ), οι παλμοί pΔ(t-nΔτ) γίνονται καθυστερημένες κρουστικές δ(t-τ) και οι αποκρίσεις τους γίνονται οι αντίστοιχες κρουστικές αποκρίσεις h(t-τ). Οταν επομένως το Δτ να τείνει στο dτ, έχουμε:Η παραπάνω εξίσωση, που ορίζει το συνελικτικό ολοκλήρωμα, είναι υψίστης σημασίας για την θεωρία των συστημάτων και κυκλωμάτων LTI συνεχούς χρόνου. Στην ουσία, εκφράζει την απόκριση ενός συστήματος με διέγερση f(t), συναρτήσει της κρουστικής απόκρισης h(t) του συστήματος. Γνωρίζοντας δηλαδή την κρουστική απόκριση h(t) του κυκλώματος, η απόκρισή του σε τυχούσα διέγερση f(t) υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση. Η σύνδεση της απόκρισης με την διέγερση μέσω της κρουστικής απόκρισης αποτελεί την καταξίωση της σημασίας της κρουστικής απόκρισης. Γενικά η συνέλιξη g(t) μιας συνάρτησης f(t) με μια άλλη h(t) συμβολίζεται και ορίζεται ως ,